Ungefähr Genau 2,5

… oder was Ted Barr, Oswald Jacoby und John R. Crawford von Neil Kazaross hätten lernen können.

Ted Barr führt in seinem Buch „Barr ond Backgammon“* folgende Position an:

Pipcounts: Weiss 4, Schwarz 11

Position ID: CwAAwAQAAAAAAA Match ID: QYkMAAAAAAAA

Für Schwarz stellt sich nun die Frage: 3/off 3/2 oder 3/off 5/4? Barr zählt alle Würfe durch und stellt fest, dass nach 3/off 3/2 insgesamt 19 Würfe beim nächsten Mal beide Steine ausspielen (53%), bei 3/off 5/4 sind es nur 17 (47%). Es ist sicherlich eine gute Übung die Kombinationen im Kopf durchzugehen, ein Vergnügen ist es -gerade im Spiel- nicht.

Jacoby und Crawford drucken in ihrem Buch die komplette Liste der Gewinnwürfe bei zwei verbliebenen Steinen ab*:

Pips	Besetzte Punkte	Anzahl der Gewinnwürfe	Wahrscheinlichkeit
12	6-6	4	11%
11	6-5	6	17%
10	5-5	6	17%
	6-4	8	22%
9	5-4	10	28%
	6-3	10	28%
8	4-4	11	31%
	6-2	13	36%
	5-3	14	39%
7	6-1	15	42%
	4-3	17	47%
	5-2	19	53%
6	3-3	17	47%
	5-1 od. 4-2	23	64%
	6	27	75%
5	3-2	25	69%
	4-2	29	81%
	5	31	86%
4	2-2	26	72%
	3-1 od. 4	34	94%
3	2-1 od. 3	36	100%
2	1-1 od. 2	36	100%

Nur auswendig lernen und schwupps braucht man nicht mehr nachzudenken. Nur!?

Weil ich faul und nicht gewillt bin die Tabelle zu lernen, habe ich sie mir etwas genauer angesehen mit dem Ziel ein Schema darin zu erkennen. Das Unternehmen war erfolgreich und so postete ich frohen Mutes meine Entdeckung auf rec.games.backgammon.

Wie es aber nun heutzutage mit Entdeckungen ist: Man ist selten der erste, der sie macht. Tatsächlich antwortete Neil Kazaross auf meinen Eintrag mit einer Regel, die in ihrer Anwendung lächerlich simpel ist.

Ich möchte sie die „2,5-Regel“ nennen. Immer wenn es darum geht zwei Steine so zu positionieren, dass sie möglichst leicht ausgewürfelt werden können, sollte man sie 2,5 Pips voneinander entfernt aufstellen. Das geht natürlich nicht genau, weil es keine halben Pips gibt. Aber es geht ungefähr, indem man versucht möglichst nah an diesen Wert heranzukommen.

Im obigen Beispiel würde dies z.B. bedeuten, dass die verbleibenden Steine nach 3/off 3/2 drei Pips auseinander stehen und nach 3/off 5/4 nur einen Pip. 3 ist bekanntlich näher an 2,5 als 1, also ist 3/off 3/2 der bessere Zug. Dies stimmt genau mit der Tabelle von Jacoby und Crawford und dem Ergebnis der Rechnung von Barr überein.

Wie sieht es denn z.B. mit folgender Position aus:

Pipcounts: Weiss 4, Schwarz 10
Position ID: DwAAQAkAAAAAAA Match ID: QYkEAAAAAAAA

Es gibt nun die Möglichkeiten:

• 2/off 5/3
• 3/off 2/1
• 3/off 5/4

Die erste Variante, die verbleibenden Steine auf dem 3er-Punkt zu stapeln ist offensichtlich sehr schlecht. Jede Eins und alle Zweien außer dem Zweierpasch lassen uns nicht ausspielen. Wenden wir versuchsweise die 2,5-Regel an:

• 2/off 5/3 -> 0 Pips zwischen den verbleibenden Steinen
• 3/off 2/1 -> 4 Pips zwischen den verbeibenden Steinen
• 3/off 5/4 -> 2 Pips zwischen den verbleibenden Steinen

2 ist näher an 2,5 als 0 oder 4, also sollte der dritte Zug der beste sein. Ein Blick in die Tabelle ergibt, dass je ein Stein auf der 5 und auf der 1 oder ein Stein auf der 4 und einer auf der 2 (Varianten 2 und 3) mit der gleichen Anzahl von Würfen ausgespielt werden können. Manchmal gibt es also Züge, die genauso gut sind, wie der von der 2,5-Regel vorgeschriebene. Aber es gibt keine Situation, in der die 2,5-Regel einen suboptimalen Zug anzeigt.

Damit sind alle Berechnungen und Tabellen erschlagen: Ungefähr genau 2,5 Pips zwischen den Steinen ist die Lösung für alle Bearoff Positionen mit zwei Steinen. Und natürlich lässt sich dieses Wissen auch in anderen Positionen anwenden:

Pipcounts: Weiss 64, Schwarz 70

Position ID: 27YtAADbtoMBAA Match ID: cIkMAAAAAAAA

#		Ply	Zug	Gewinnerwartung
	1	R	11/10 11/8	-0,436
	2	R	11/8 6/5	-0,446 ( -0,011)
	3	R	11/7	-0,461 ( -0,025)

* Ted Barr: Barr on Backgammon, A Collection of The Seattle Times Backgammon Columns. The Writing Works, 1981. S. 100f.

*Oswald Jacoby, John R. Crawford: Das Backgammon Buch. Keysersche Verlagsbuchhandlung, 1974. S. 105.

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